From: Convolution identities for twisted Eisenstein series and twisted divisor functions
Identities of Eisenstein series
Reference
− ( n + 2 ) ( n + 3 ) 2 n ( n − 1 ) S n + 2 = − 20 ( n − 2 2 ) S 4 S n − 2 − ( n + 2 ) ( n + 3 ) 2 n ( n − 1 ) S n + 2 = + ∑ r = 1 [ ( n − 2 ) / 4 ] ( n − 2 2 r ) { ( n + 3 − 5 r ) ( n − 8 − 5 r ) − ( n + 2 ) ( n + 3 ) 2 n ( n − 1 ) S n + 2 = − 5 ( r − 2 ) ( r + 3 ) } S 2 r + 2 S n − 2 r
[[1], Entry 14, p. 332]
S 2 n + 2 ∗ ( τ ) = D ( S 2 n ∗ ( τ ) ) S 2 n + 2 ∗ ( τ ) = + 2 ∑ s = 0 n − 1 ( 2 n 2 s + 1 ) S 2 n − 2 s ∗ ( τ ) S 2 s + 2 ∗ ( τ )
Theorem 3.2
S 2 k + 2 , χ 0 ∗ ( τ ) = 4 ∑ s = 0 k − 1 ( 2 k 2 s + 1 ) S 2 k − 2 s , χ 1 ∗ ( τ ) S 2 s + 2 , χ 1 ∗ ( τ ) S 2 k + 2 , χ 0 ∗ ( τ ) = 4 ∑ s = 0 k − 1 ( 2 k 2 s + 1 ) S 2 k − 2 s , χ 1 ( τ ) S 2 s + 2 , χ 1 ( τ )
Lemma 3.3
D ( S 2 k , χ 0 ∗ ( τ ) ) = 2 ∑ s = 0 k − 1 ( 2 k 2 s + 1 ) D ( S 2 k , χ 0 ∗ ( τ ) ) = × ( S 2 k − 2 s , χ 1 ∗ ( τ ) − S 2 k − 2 s , χ 0 ∗ ( τ ) ) S 2 s + 2 ∗ ( τ )